Produit cartésien

Définition

Soit $A$ et $B$ deux ensembles non vides.
Le produit cartésien de $A$ par $B$ est l'ensemble de couples $(a,b)$ , où $a\text{inA}$  et   $b\text{inB}$ .
On note cet ensemble :  $A\times B$ et on le lit : « $A$ croix $B$ ».

Exemple

L'ensemble des couples de coordonnées de points du plan dans un repère  est noté $\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\}$ . On note cet ensemble $\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$ .

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux ensembles non vides.
Lorsque les ensembles $A$  et $B$  sont finis, on a : $\text{Card}(A\times B)=\text{Card}(A)\times \text{Card}(B)$ .

Exemple

Soit $A=\{\text{A},\text{R},\text{D},\text{V},10,9,8,7,6,5,4,3,2\}$ et $B=\{\text{pique},\text{cœur},\text{carreau},\text{trèfle}\}$ .
Alors le produit cartésien de $A$ par $B$ contient $52$ éléments :
$A\times B=\{(\text{A},\text{pique}),(\text{R},\text{pique}),...(2,\text{pique}),(A,\text{cœur}),...(3,\text{trèfle}),(2,\text{trèfle})\}$ .

Définition

Soit $n$   un entier naturel supérieur ou égal à $2$ .

Soit  $n$ ensembles non vides $E_1,E_2,...,E_n$ .

• Toute liste ordonnée $(x_1,x_2,...,x_n)$ ,  avec  $x_i\in E_i$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ , est appelée  $n$ -uplet  (ou $n$ -liste ).
  
• L'ensemble de ces $n$ -uplets est le produit cartésien $E_1\times E_2\times ...\times E_n$ .
  

Exemple

L'ensemble des coordonnées de points dans un repère de l'espace  est noté   $\{(x,y,z)\mid x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R},z\in \mathbb{R}\}$ . On note cet ensemble   $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^3$ .

Propriété

Soit $n$   un entier naturel supérieur ou égal à $2$ .
Soit $n$ ensembles non vides $E_1,E_2,...,E_n$ .
Lorsque les ensembles $E_1,E_2,...,E_n$ sont finis, on a :
$\text{Card}(E_1\times E_2\times ...\times E_n)=\text{Card}(E_1)\times \text{Card}(E_2)\times ...\times \text{Card}(E_n)$ .

Remarques

• Un 2-uplet est un couple.
  
• Un 3-uplet est un triplet.
  
• Pour $A$ un ensemble non vide, on peut considérer des $n$ -uplets d'éléments de $A$ .
  L'ensemble  $A\times A\times A\times ...\times A$ , où l'ensemble $A$ apparaît $n$ fois, se note aussi  $A^n$ .